T.Informatika - Aljabar Linier

T.Informatika - Aljabar Linier

  August 26, 2011    Arif

---

Namanya aja Informatika, tentu “dunia”nya nggak jauh dari yang namanya MATEMATIKA. Bisa dibilang ini adalah makanan sehari-hari mahasiswanya . Matematika yang dipelajari sebenarnya bisa dibilang hanya mengulang materi di SMA, seperti Turunan (Diferensial), Integral, Limit, Logika Matematika, Statistika, termasuk Aljabar Linier yang akan saya bahas kali ini, tapi di sini penggunaanya lebih kompleks dan lebih dikembangkan lagi.

Dalam Aljabar Linier ini, intinya kita akan belajar tiga materi : Sistem Persamaan Linear, Matriks, dan Vektor (termasuk transformasi). Oiya, dalam mempelajari mata kuliah ini, mahasiswa akan diperkenalkan dengan sebuah software bernama MatLab.

Sistem Persamaan Linier dan Matriks

3x1 + 4x2 − 2 x3 = 5 x1 − 5x2 + 2x3 = 7 2x1 + x2 − 3x3 = 9
Persamaan Linear	Matriks Teraugmentasi

Oke, di SMA pati uda tahu kan yang namanya persamaan linear dan matriks? Jadi nggak usah saya bahas lagi. Persamaan linear di sebelah kiri pada tabel di atas dapat diubah menjadi bentuk matriks teraugmentasi seperti di sebelahnya. Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan.

Eliminasi Gauss ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss. Untuk cara penyelesaian persamaan linier menggunakan cara ini, sebelumnya harus tahu dulu yang namanya matriks bentuk Eselon-baris. Matriks bentuk eselon-baris mempunyai persyaratan :

1. Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
2. Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
3. Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
4. Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi

Eselon-baris	Eselon-baris tereduksi

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Kelebihannya, tidak memerlukan substitusi balik. Urutannya : mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi > mengoperasikannya > mengubahnya menjadi bentuk eselon baris tereduksi. Setelah itu dapat langsung diketahui nilai dari variabel-variabelnya.

Di sini juga akan mengulang berbagai hal mengenai matriks sepertiyang pernah dipelajari di SMA, semisal, Operasi Matriks (Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian), Invers dan Transpose.

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A_2x2

A = tentukan determinan A

untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = ad - bc   

Dalam bab ini akan diajarkan beberapa hal, seperti : Kofaktor, Reduksi Baris dan Aturan Cramer.

---

Vektor

Seperti di SMA (lagi...) mahasiswa juga akan mengulang lagi materi mengenai vektor. Dari mulai definisi vektor, jenis-jenis vektor hingga yang baru, Ruang Vektor dan Ruang Vektor Euclidean.

Ruang vektor adalah struktur matematika yang dibentuk oleh sekumpulan vektor yang dinamakan skalar. Skalar sering adalah bilangan riil, tapi kita juga dapat merumuskan ruang vektor dengan perkalian skalar dengan bilangan kompleks, bilangan rasional, atau bahkan medan. Operasi penjumlahan dan perkalian vektor mesti memenuhi persyaratan tertentu yang dinamakan aksioma.


Penjumlahan vektor dan perkalian skalar: Sebuah vektor v (biru) ditambahkan ke vektor lain w (merah, ilustrasi atas). Di bawah, w diregangkan dengan faktor 2, menghasilkan jumlah v + 2•w

Sebuah ruang vektor adalah kumpulan vektor V, bersama-sama dengan dua operasi, yaitu penjumlahan vektor dan perkalian skalar, dan memenuhi aksioma-aksioma berikut:

Aksioma	Pernyataan
Sifat asosiatif penjumlahan	u + (v + w) = (u + v) + w.
Sifat komutatif penjumlahan	v + w = w + v.
Elemen identitas penjumlahan	Terdapat elemen 0 ∈ V, dinamakan sebagai vektor nol, sedemikian sehingga v + 0 = v untuk semua v ∈ V.
Elemen invers penjumlahan	Untuk semua v ∈ V, terdapat elemen w ∈ V, dinamakan sebagai invers penjumlahan v, sedemikan sehingga v + w = 0. Invers penjumlahan ini dilambangkan sebagai −v.
Sifat distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan vektor	a(v + w) = av + aw.
Sifat distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan medan	(a + b)v = av + bv.
Kesesuaian perkalian skalar dengan perkalian medan	a(bv) = (ab)v
Elemen identitas pada perkalian skalar	1v = v, dengan 1 melambangkan entitas perkalian dalam F.

Yah.., mungkin baru itu yang baru saya tahu (padahal bener2 belum mudeng --'), karena memang saya belum belajar atau diajari apa2 tentang mata kuliah ini, ini hanya sebagai review, dan semoga bermanfaat . . .



Referensi : Wikipedia